В торговую компанию поступают бытовые кондиционеры от трех производителей

Обновлено: 27.04.2024

2.1.Из аэровокзала отправились два автобуса-экспресса. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что:

а) оба автобуса прибудут вовремя;

б) оба автобуса опоздают;

в) только один автобус прибудет вовремя;

г) хотя бы один автобус прибудет вовремя.

2.2. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает:

а) два вопроса, содержащиеся в билете;

б) только один вопрос;

в) хотя бы один вопрос.

2.3. В среднем 20% студентов сдают экзамен по математике на "отлично". Найти вероятность того, что из пяти случайно выбранных студентов оценку "отлично" получат:

б) хотя бы один студент.

2.4. В офисе работают три кондиционера. Для каждого кондиционера вероятность выхода из строя составляет 0,8. Найти вероятность того, что выйдут из строя:

а) два вентилятора;

б) хотя бы один вентилятор;

в) все вентиляторы.

2.5. Покупатель может приобрести акции двух компаний и . Надежность акций первой компании на уровне 90%, а второй – 80%. Чему равна вероятность того, что:

а) обе компании в течение года не станут банкротами;

б) наступит хотя бы одно банкротство?

2.6.В группе 10 юношей и 15 девушек. Наудачу отбирают 2 человека. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна девушка;

б) ни одной девушки;

в) хотя бы один юноша.

2.7. В коридоре находится 5 женщин, 6 мужчин и 2 подростка. Вызывают в кабинет врача по одному трех человек. Найти вероятность того, что:

а) первым вызван мужчина, второй – женщина, третьим – подросток;

б) вызваны в кабинет все женщины.

2.8. Студент знает ответы на 20 вопросов из 25. Вопросы задаются последовательно один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса – счастливые.

2.9. Подброшена монета и игральный кубик. Найти вероятность того, что на монете выпала цифра, а на кубике – число очков, кратное трем.

Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна (15+к)/100. Для второго клиента вероятность такого обращения равна. (20+к)/100. Для третьего клиента -(10+к)/100. Найти вероятность того, что в течение года в СК обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.

Из условия: р1=0,15 –вероятность обращения с иском первого клиента.

Р2=0,2 –вероятность обращения с иском второго клиента.

Р3=0,1 –вероятность обращения с иском третьего клиента.

Искомая вероятность того, что в течение года в СК обратится с иском хотя бы один клиент: Р(А)=1-q1*q2*q3, где

Q1=1-p1 – вероятность того, что первый клиент не обратится с иском;

Q2=1-p2 - вероятность того, что второй клиент не обратится с иском;

Q3=1-p3 - вероятность того, что третий клиент не обратится с иском;

В магазин поступают телевизоры с трех заводов: (30+к)% с первого завода, (25+к)% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпускает (20+к)% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, (10+k)%, а третий - (15+к)%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?

Из условия с первого завода поступает 30% телевизоров, со второго – 25%, с третьего 100%-55%=45%.

Первый завод выпускает 20% дефектных, второй 10% дефектных, третий – 15%.

Обозначим через А событие – приобретён исправный телевизор. Возможны следующие гипотезы:

В1 – телевизор с первого завода. Р(В1)=0,3.

В2 – телевизор с первого завода. Р(В2)=0,25.

В3 – телевизор с первого завода. Р(В3)=0,45.

Условная вероятность того, что приобретён исправный телевизор и он с первого завода РВ1(А)=1-0,2=0,8. Аналогично: РВ2(А)=1-0,1=0,9, РВ3(А)=1-0,15=0,85.

Искомую вероятность того, что приобретён исправный телевизор, находим по формуле полной вероятности. Р(А)= Р(В1)* РВ1(А)+ Р(В2)* РВ2(А)+ Р(В3)* РВ3(А)=0,3*0,8+0,25*0,9+0,45*0,85=0,8475.

Вероятность того, что в телевизоре есть дефект .

Вероятность того, что дефектный телевизор сделан первым заводом Р1=0,3934. Аналогично

Ответ: 1) Р(А)=0,8475. 2) на третьем.

При данном технологическом процессе (75+к)% всей продукции - 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число (м0) первосортных изделий из (20О+10к) изделий и вероятность этого события.

Из условия вероятность изготовления продукции1-го сорта р=0,75. Всего изделий n=200 штук. Наивероятнейшее число (м0) первосортных изделий определим из двойного неравенства:

Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.

. (10.14)

Формула Бейеса. Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , которые образуют полную группу событий. Если событие A уже произошло, то условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле:

, (10.15)

где Р(А)– формула полной вероятности.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Пример 1. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлено отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на три произвольно заданных вопроса.

A – студент ответит на три произвольно заданных вопроса;

B₁ – студент подготовлен отлично;

B₂ – студент подготовлен хорошо;

B₃ – студент подготовлен посредственно;

B₄ – студент подготовлен плохо.

По формуле полной вероятности (10.14):

Пример 2.В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

A – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;

B₁ – телевизор поступил в торговую фирму от 1-го поставщика;

B₂ – телевизор поступил в торговую фирму от 2-го поставщика;

B₃ – телевизор поступил в торговую фирму от 3-го поставщика.

По формуле полной вероятности (10.14):

;

Пример 3.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в 5 раз больше производительности второго. I автомат производит в среднем 75 % деталей отличного качества, а II автомат – 87 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена II автоматом.

A – деталь отличного качества;

B₁ – деталь произведена первым автоматом;

B₂ – деталь произведена вторым автоматом.

; .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности (10.14) равна

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена вторым автоматом, по формуле Бейеса (10.15) равна

Пример 4. Имеются три одинаковые урны: I урна содержит 1 белый и 6 черных шаров, II – 3 белых и 2 черных шаров, III – 7 белых и 8 черных шаров. Из наудачу выбранной урны вынут шар. Он оказался белым. Чему равна вероятность того, что шар вынут из I урны?

A –вынут белый шар;

B₁ – выбрана I урна;

B₂ – выбрана II урна;

B₃ – выбрана III урна.

1бел 6чер

3бел 2чер

7бел 8чер

;

По формуле полной вероятности (10.14):

Искомая вероятность по формуле (10.15) равна:

© 2014-2021 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.004)

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ) иногда обрамленная угловыми скобками: ⟨ , ⟩ , где

Ω — это множество объектов, которые называют элементарными событиями, исходами или точками.
Σ — сигма-алгебра подмножеств , называемых случайными событиями;
Ρ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

A — встреча с другом состоится, х и у — время прихода. Значит:
0 ≤ х, у ≤ 60.
В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, которые лежат внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

только в одном справочнике;
только в двух справочниках;
во всех трех справочниках.

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂, . B_n, которые образуют полную группу несовместных событий — вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, . B_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), . P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, . B_n, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B₁), P(B₂), . P(B_n).

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Возможны три гипотезы:
- А1 — на линию огня вызван первый стрелок,
- А2 — на линию огня вызван второй стрелок,
- А3 — на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равно возможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при наших гипотезах равны:
По формуле Байеса находим вероятность гипотезы А₁ после опыта:

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Бросаем игральный кубик, где вероятности выпадения определенной цифры одинаковы в каждом броске.
Включаем лампы с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждой.
Лучник повторяет выстрелы по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

np - q ≤ k ≤ np + p, где q=1−p

Так как np−q = np + p−1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k = np), то есть когда np + p (а отсюда и np - q) нецелое число, либо два значения, когда np - q целое число.

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

По условию дано: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
np - g = 366/365
np + p = 731/365
366/365 ≤ m ≤ 731/365
m = 2

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

По условию дано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q = 1 - p (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях.

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Читайте также: