Цех может выпускать два вида продукции шкафы и тумбы для телевизора

x_j>=0, (i=1…n) (9.5)

где а_ij, b_{i ,} c_j –заданные постоянные величины, m – число уравнений, n – число переменных.

Ограничения (9.5) с математической точки зрения являются необязательными, но в моделях экономических задач они, как правило, всегда присутствуют. Это связано с экономическим смыслом переменных х₁, х₂, …, х_n. Например, если под x_i понимается количество продукции вида i, которое необходимо выпускать на предприятии, то очевидно, что оно не может быть отрицательным.

Систему ограничений (9.4) называют функциональными ограничениями, а ограничения (9.5) – прямыми. Вместе ограничения (9.4) и (9.5) определяют область допустимых решений.

Набор значений переменных х_1, х_2,…,х_n, при котором выполняются все ограничения, называется допустимым решением или планом. Допустимое решение, при котором функция F принимает оптимальное значение, называется оптимальным.

Для решения задач линейного программирования необходимо составить математическую модель задачи. Составление модели удобно рассмотреть на примере.

Пример 8.1. Цех может выпускать два вида продукции: шкафы и тумбы для телевизора. На каждый шкаф расходуется 3,5 м стандартных ДСП, 1 м листового стекла и 1 человеко-день трудозатрат. На тумбу — 1 м ДСП, 2 м стекла и 1 человеко-день трудозатрат. Материальные и трудовые ресурсы ограничены: в цехе работают 150 рабочих, в день нельзя израсходовать больше 350 м ДСП и более 240 м стекла. Прибыль от продажи 1 шкафа составляет 200 у.е., а тумбы — 100 у.е.

Какое количество шкафов и тумб должен выпускать цех, чтобы сделать прибыль максимальной?

Решение. Введем переменные, т.е. обозначим за x_j те величины, которые нужно найти в задаче. В данном случае это

х₁ - количество шкафов;

х₂ - количество тумб,

которые должен выпускать цех. Именно от них зависит прибыль цеха и расход ресурсов.

Прибыль от продажи одного шкафа равна 200 у.е., значит, прибыль от продажи х₁ шкафов будет 200∙х₁. Аналогично, прибыль, полученная от продажи тумб, составит 100∙х₂. Целевая функция выражает прибыль, полученную от продажи всего выпущенного количества шкафов и тумб, и поэтому ее значение стремится к максимуму:

Выпуск продукции ограничен количеством ресурсов, расходуемых за один день: ДСП, листовое стекло и трудозатраты.

ДСП на один шкаф расходуется 3,5 (м), а на одну тумбу — 1 (м). Следовательно на х₁ шкафов будет израсходовано 3,5∙х₁ (м), а на все выпускаемые тумбы — 1∙х₂ (м). Всего расход ДСП составит 3,5∙х₁ +х₂ (м). Количество израсходованного ресурса не должно превышать его запас на предприятии, который равен 350 (м). Поэтому можно записать следующее ограничение:

Аналогично записываются ограничения для других ресурсов: расход стекла не должен превышать его запас

а использование трудовых ресурсов ограничено числом работающих в цехе рабочих:

Количество выпущенной продукции не может быть величиной отрицательной, поэтому добавим еще ограничения:

Таким образом, математическая модель задачи выглядит следующим образом:

Такая запись означает, что необходимо найти неотрицательные значения переменных х₁ и х_2, удовлетворяющие линейным неравенствам ограничений, при которых целевая функция этих переменных обращалась бы в максимум.

Для решения ЗЛП используется симплекс-метод. Автоматизировать решение этим методом можно с помощью надстройки Поиск решения пакета MS Excel. В случае двух переменных ЗЛП может быть решена графическим методом, для автоматизации которого используется пакет MathCad.

9.1. Дисконтирование денежных потоков

Метод дисконтирования денежных потоков является ключевым в финансовом анализе. Рассмотрим этот метод на примере банковских депозитов. Обозначим:

P – начальный капитал, положенный в банк;

r – процентная ставка банка;

S – наращенная сумма.

Тогда в конце первого периода капитализации наращенная сумма составит:

.

Если эта сумма остается в банке, то в конце второго периода капитализации наращенная сумма составит:

.

В общем случае сумма, наращенная за n периодов капитализации, рассчитывается по формуле:

. (9.1)

В течение периода капитализации проценты могут начисляться несколько раз, тогда наращенная сумма будет увеличиваться.

На основании формулы (9.1) можно также найти, какой начальный капитал нужно положить в банк, чтобы наращенная за n периодов капитализации сумма составила заданную величину S. Такой начальный капитал называется текущей (приведенной) ценностью суммы S и обозначается PV:

. (9.2)

Процесс нахождения текущей ценности называется дисконтированием.

Пример 9.1. Годовая процентная ставка банка составляет 12%. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы наращенная за пять лет сумма составила 1000 ден. единиц?

Решение. По условию r=0,12; n=5; S=1000. По формуле (9.2) найдем текущую ценность заданной суммы:

.

Таким образом, в банк следует положить 567,431 ден. ед.

На основании формулы (9.1) можно также решить задачу определения количества времени, требующегося для накопления определенной суммы.

Пример 9.2. Если положить в банк 1000 у.е. при годовой процентной ставке 10%, то через сколько лет накопленная сумма составит 2000 у.е.?

Решение. По условию даны следующие величины: P=1000; S=2000; r=0,1. Требуется найти количество временных периодов n. Запишем формулу (9.1): . Решив это уравнение относительно n, получим: n=7,27. Таким образом, на данное накопление потребуется больше семи лет.

9.2. Анализ инвестиционных проектов

Под инвестиционным проектом понимается любое вложение денег, генерирующее денежные потоки в будущем. Примерами инвестиционных проектов могут служить закупка производственного оборудования, вложение денег в банк под процент, приобретение ценных бумаг.

Рассмотрим проект, в который необходимо вложить сумму I₀,, и он генерирует через n временных периодов (например, лет) прибыль С. Допустим, у инвестора имеется альтернатива: вложить деньги в проект или положить их на банковский депозит с процентной ставкой r. Тогда, чтобы получить ту же сумму, которая ожидается в качестве прибыли проекта, через такое же время, в банк следует положить

. (9.3)

Эта величина называется текущей (приведенной) ценностью проекта и показывает, каким должно быть альтернативное вложение средств, чтобы получить через n временных периодов ту же сумму, которую дает проект.

Процентная ставка r, используемая при дисконтировании денежных потоков проекта, называется нормой дисконтирования. В качестве этой величины можно брать процентную ставку банка только в том случае, когда риск, связанный с проектом, и риск, связанный с банковским депозитом, одинаков. Обычно это не так, и в качестве нормы дисконтирования берут внутреннюю норму прибыли альтернативных проектов с таким же финансовым риском, как и у данного проекта.

Чистая текущая ценность проекта рассчитывается по формуле

и показывает, на сколько денежных единиц данный проект требует меньше начальных инвестиций, чем альтернативные вложения, при условии, что в конце рассматриваемого периода они генерируют одинаковую прибыль. Если чистая текущая ценность положительна, то деньги выгоднее инвестировать в проект, а если отрицательна – то выгоднее принять альтернативные предложения (например, положить деньги в банк).

Пример 9.3. Проект, требующий 700 ед. начальных инвестиций, приносит через два года денежный поток 1000 ед. В качестве альтернативы этому проекту рассматривается вложение денег в банк, годовая процентная ставка которого равна 12%. Требуется выбрать наилучший вариант вложения средств.

Решение. По условию I₀=700; C=1000; n=2; r=0,12. Найдем текущую ценность проекта по формуле (9.3):

.

Таким образом, чтобы получить сумму 1000 ед через два года в банке, следует положить на депозит 797,19 ден.ед.

Чистая текущая ценность проекта показывает, что в банк нужно вложить на 97,19 ден.ед. больше, чем в проект, для получения той же суммы в будущем. Поэтому проект является более привлекательным для инвестора вложением средств.

Такая норма дисконтирования денежных потоков проекта, при которой чистая текущая ценность проекта равна нулю (NPV=0), называется внутренней нормой прибыли проекта (IRR=internal rate of return). Таким образом, IRR показывает процентную ставку некоторого гипотетического банка, который дает такую же доходность, как и данный проект. Для проекта, который дает один денежный поток, эта величина определяется из условия

. (9.5)

Если найденная внутренняя норма прибыли больше, чем норма дисконтирования (т.е. прибыльность альтернативных проектов), то рассматриваемый проект является выгодным для инвестора. В противном случае лучше вкладывать деньги в альтернативные проекты.

Пример 9.4. Для проекта предыдущего примера (I₀=700; C=1000; n=2) найдем внутреннюю норму прибыли. Запишем соотношение (9.5):

Þ IRR = 19,52%.

Таким образом, рассматриваемый проект по прибыльности эквивалентен банковским депозитам с годовой процентной ставкой 19,52%.

Рассмотрим теперь инвестиционные проекты, которые генерируют несколько денежных потоков по годам. Обозначим C_k – денежный поток, который генерирует проект в k –ом периоде. Начальные инвестиции в проект (в нулевом периоде) обозначаются I₀. Рассматривается n временных периодов (горизонт оценивания проекта). Тогда денежные потоки проекта можно представить в виде таблицы 9.1 (В этой таблице сумма вложения средств должна быть представлена отрицательным значением, а сумма поступления средств – положительным).

Читайте также:

  
• Что такое маршрутизатор в телевизоре
  
• Прошивка телевизора xiaomi e43s pro
  
• Нужна ли тв приставка для телевизора сони бравиа на андроиде
  
• Ttx v001 прошивка телевизора
  
• Как подключить очки виртуальной реальности к телевизору самсунг