В пункте проката имеется 10 телевизоров для которых вероятность исправной работы в течение месяца
Обновлено: 19.05.2024
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Решение. Пусть T1 – событие, состоящее в том, что механик проработал меньше 10 лет. Событие G состоит в том, что механик хорошо обслуживает автомобили. Для определения условной P(GT1) вероятности используем формулу (1.3). Тогда P(G T1) 10 P(GT1)= = =.
P(T1) 30 Если обе стороны равенства, определяемого формулой (1.3), умножить на Р(В), то получим следующее правило умножения вероятностей в общем случае:
P(A B) = P(B)P(A B). (1.4) Правило умножения вероятностей в общем случае, если поменять местами А и В и использовать факт, что A B = B A, получим следующее:
P(A B) = P(A)P(B A). (1.4а) Пример. Если из партии, содержащей 240 телевизионных трубок, среди которых 15 с дефектом, выбрать случайным образом две трубки, то какова вероятность того, что они обе с дефектом Решение. Предполагаем равновозможность каждого выбора.
Событие А состоит в том, что 1-я трубка будет с дефектом.
Событие В состоит в том, что 2-я трубка будет с дефектом.
P(A) = Вероятность события А определяется в виде.
Вероятность события В, при условии, что произошло событие А, P(B A)= определяется в виде.
Событие С, состоящее в том, что обе трубки будут с дефектом, C = A B определяется в виде.
Таким образом, вероятность, что обе трубки будут с дефектом, определяется по формуле (1.4а) 15 14 P(C) = P(A B) = P(A)P(B A)= = = 0..
240 239 В этой задаче выбор производился без возвращения, т. е. первая трубка не возвращается в партию перед вытаскиванием второй трубки.
Пример. Определить вероятность того, что будут вытащены 2 туза из колоды из 52 карт, если выбор производится:
a) без возращения;
б) с возращением.
Решение 1. Если первая карта не возвращается перед вторым вытаскиванием, то вероятность получения двух тузов определяется в 4 3 P = = = 0.виде.
52 51 2. Если первая карта возвращается перед вторым вытаскиванием, то вероятность получения двух тузов определяется в виде 4 4 P = = = 0..
52 52 Формула (1.4) в случае трех событий (А, В и С) в выборочном пространстве Е при условии, что A B, имеет вид P(A B C) = P(A) P(B A) P(C A B). (1.5) В теории вероятностей важную роль играет понятие независимости случайных событий.
Определение. Событие А называется независимым от события B, P(A B)= P(A) если имеет место равенство, т. е, если условная вероятность события А, при условии, что событие В произошло, совпадает с безусловной вероятностью события А.
Из определения следует, что два события А и В являются независимыми, если появление или не появление одного из них не влияет на вероятность появления другого события.
Правило умножения вероятностей для двух событий А и В, если А и В независимы, имеет вид P(A B) = P(A) P(B).
(1.6) Пример. Монета подбрасывается 3 раза. Пусть событие А состоит в том, что герб появляется при первом и втором бросаниях.
Событие В состоит в том, что решка появится при третьем бросании.
Событие С состоит в том, что появятся две решки при трех бросаниях.
a) события А и В независимы;
б) события В и С зависимы.
Решение. Пространство элементарных исходов E = .
В предположении, что все исходы равновозможны, 2 4 1 P(A) = = P(B) = = P(C) = ; ; ;
2 P(A B) = P(A) P(B); А и В – P(A) P(B) = = a), т. е.
8 1 P(B C) P(B) P(C) P(B) P(C) = = б), т. е., 2 следовательно, В и С – зависимы.
A1. Ak являются независимыми тогда, Определение. События и только тогда, когда вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т. е.
P(A1 A2. Ak ) = P(A1) P(A2 ). P(Ak ) (1.7) для k событий.
1.1.11. Задание для самостоятельной работы 1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0.012, 0.01, 0.006, 0.002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.
2. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0.2, 0.15, 0.10.
Определить вероятность непопадания в мишень.
3. В двух корзинах находятся шары, отличающиеся только цветом.
В первой корзине 5 белых, 11 черных, 8 красных шаров. Во второй корзине 10 белых, 8 черных и 6 красных шаров. Из обеих корзин наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета Ответ: 0.323.
4. Студент может уехать в институт или автобусом, или троллейбусом. Автобус ходит через каждые 20 минут, троллейбус ходит через каждые 10 минут. Какова вероятность, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение пяти минут Ответ: 0.625.
5. В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них с вероятностью р выходит. Кроме того, в автобус с вероятностью p0 не входит ни один новый пассажир и с вероятностью (1 – p0) входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что, когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем попрежнему будет n пассажиров.
Ответ: р (1 – р)n+(1 – р ) np (1 – p)n-1.
0 6. Студент знает 20 из 25-ти вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет Ответ: 0.9.
7. В корзине находится 8 красных и 6 зеленых шаров. Из корзины вынимается последовательно (без возвращения) два шара. Событие А – первый шар красный, событие В – второй шар зеленый.
Являются ли события А и В независимыми 8. Из обычной колоды карт (52 карты) берут наугад одну карту.
Пусть событие А состоит в извлечении туза, событие В состоит в извлечении карты масти пики. Являются ли эти события статистически независимыми 9. Бросают пару игральных костей. Пусть в этом опыте события А и В заключаются в выпадении нечетных чисел на первой и второй костях. Событие С состоит в выпадении нечетной суммы очков.
Являются ли эти события:
а) попарно независимыми;
б) взаимно независимыми 10. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются четыре карты.
Найти вероятность того, что все четыре карты будут разных мастей.
11. Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % всех женщин – дальтоники.
На осмотр прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина Ответ: 0.95.
12. Проводится три повторных независимых измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что при одном измерении (любом) ошибка выйдет за пределы допуска, равна 0.1. Найти вероятность следующих событий:
а) во всех измерениях была достигнута заданная точность;
б) не более чем в одном измерении ошибка выйдет за пределы допуска;
в) по крайней мере в двух измерениях подряд была достигнута заданная точность.
Ответ: 0.729, 0.972, 0.891.
1.1.12. Формула полной вероятности. Формула Байеса Формула полной вероятности связывает условную и безусловную вероятности некоторого события А.
Пусть определены и отличны от нуля следующие вероятности:
P(B1) P(B2), …, P(Bk) P(A B1) P(A B2) P(A Bk),, …,. Пусть далее и, A B1 B2. Bk известно, что и события В ( ) попарно i = 1, k i несовместны, и событие А может произойти с одним из событий В.
i Тогда вероятность события А может быть определена по формуле полной вероятности, которая имеет вид P( A) = P(B1)P(A B1)+. + P(Bk)P(A Bk). (1.8) События В называются гипотезами.
i Эта формула широко используется на практике.
Пример. Партия деталей содержит 20 % деталей, изготовленных заводом 1; 30 % – заводом 2; 50 % – заводом 3. Для завода 1 вероятность выпуска бракованной детали равна 0.05; для завода 2 – 0.01; для завода 3 – 0.06. Какова вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной Решение. Событие А состоит в том, что выбранная деталь окажется бракованной. События В1, В2, В3 состоят в том, что деталь изготовлена соответственно заводом 1, заводом 2 и заводом 3.
P(B1) = 0.2; P(B2) = 0.3; P(B3) = 0.Из условия задачи ;
P(A B1)= 0.05; P(A B2)= 0.01; P(A B3)= 0..
По формуле полной вероятности P(A) = 0.2 0.05 + 0.3 0.01 + 0.5 0.06 = 0.043.
Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса.
Bi A B1. Bk (А Пусть события попарно несовместны и может произойти с одним из В ), тогда i P(Bi)P(A Bi) P(Bi A)=, (1.9) P(A) где P(A) определяется по формуле полной вероятности (1.8).
Значение этой формулы в том, что она связывает вероятности P(Bi A) P(Bi) после наступления события А с вероятностями до наступления события А.
P(Bi) Вероятности называются априорными (до опыта).
Вероятности (Bi A) – апостериорными (после опыта).
Пример. В условиях предыдущего примера стало известно, что наудачу выбранная деталь из партии оказалась бракованной. Чему равна вероятность, что она изготовлена заводом 1, заводом 2, заводом 3 Решение. Придерживаемся обозначений предыдущего примера.
P(B1 A), P(B2 A) P(B3 A).
Необходимо определить вероятности, По формуле Байеса P(B1)P( A B1) 0.2 0.P(B1 A) = = 0.233;
P( A) 0.0.3 0.01 0.5 0.P(B2 A) = 0.07 P(B3 A) = 0.698.
0.043 0.Вероятность, что бракованная деталь принадлежит заводу 3, – самая наибольшая. Отсюда можно сделать вывод, что, скорее всего, она изготовлена на этом заводе.
При решении задач с применением формулы Байеса можно использовать дерево вероятностей.
Дерево вероятностей – это рисунок, на котором показаны безусловные и условные вероятности для комбинации двух и более событий. Дерево вероятностей тесно связано с деревом решений, которое широко используется в финансах и других областях коммерческой деятельности.
Правила построения дерева вероятностей включают следующие шаги.
Прежде всего, рисуется само дерево, а затем на рисунке фиксируется вся информация.
1. Вероятности указываются в каждой из конечных точек и обводятся кружочками. На каждом уровне ( по вертикали) сумма этих вероятностей должна равняться 1.
2. Условные вероятности указываются рядом с каждой из ветвей (кроме ветвей первого уровня). Для каждой из групп, выходящих из одной точки, сумма этих вероятностей также равна 1.
3. Безусловные (указанные в кружочке) вероятности и соответствующие им условные вероятности, указанные рядом с ветвью, перемножаются и результат записывается в конце ветви в кружочках для каждой из ветвей. Вероятность в исходящем круге равна сумме вероятностей на концах ветвей, полученных из этого круга.
Представьте себе, что фирма собирается провести обязательную проверку всех сотрудников на предмет наличия сердечно-сосудистых заболеваний. Известно, что если человек болен, то тест будет положительным с вероятностью 0.9. Если человек здоров, то тест покажет отрицательный результат в 95% случаев. На основе неофициального опроса можно ожидать, что примерно 8% всего персонала имеют сердечно-сосудистые заболевания.
Базовое дерево после нанесения исходной информации представлено на рис 1.3, где вероятности 0.90 и 0.95 отражают условные вероятности вдоль соответствующих ветвей. Значение 0.представляет собой безусловную вероятность.
да 0,да 0,0,да нет нет да нет 0,Рис. 1.3. Дерево вероятностей после нанесения исходной информации На рис 1.4 представлено дерево вероятностей с недостающими значениями, полученных после использования основных правил.
Первое правило состоит в том, что значение 0.08 дополняет значение 0.92. Второе правило дает значения условных вероятностей 0.10 и 0.05.
Третье правило позволяет получить все величины условных вероятностей для заполнения кружков в правой части.
да 0,да 0,90 0,0,да 0,нет 0,да 0,нет 0,0,0,нет 0,Рис. 1.4. Дерево вероятностей после применения основных правил Вероятность тест “положителен” = 0.072 + 0.046 = 0.118.
Вероятность тест “положителен” при условии, что не имеет заболевания = 0.05.
Другие условные вероятности можно найти, воспользовавшись соответствующими формулами, например: условная вероятность “имеет 0.= заболевание” при условии “тест положителен” = 0.610.
0.072 + 0.1.1.13. Задание для самостоятельной работы 1. Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков равна соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трёх стрелков имелось 2 попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
2. Принимая во внимание, что вероятность рождения однополых близнецов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рождения близнецов разного пола в любой последовательности одинаковы, а вероятность рождения в двойне первым мальчика равна 0.51.
Определить вероятность рождения второго мальчика, если первым родился мальчик.
3. В первой корзине находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй корзине – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой корзины случайным образом (без возвращения) удалили по одному шару, а оставшиеся шары поместили в третью корзину. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей корзины, окажется белым.
4. В пункте проката имеется десять телефонов, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.9, и пять телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.
5. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно перелить кровь любой группы; имеющему 2-ю группу или 3-ю можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й; имеющему 1-ю группу можно перелить кровь только 1-й группы.
33.7 % имеют 1-ю группу крови;
37.5 % имеют 2-ю группу крови;
20.9 % имеют 3-ю группу крови;
7.9 % имеют 4-ю группу крови.
Определить вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
6. Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную – с вероятностью 0.05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.
7. Надёжность определения туберкулёза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 %. Вероятность того, что у здорового человека будет установлен ТБЦ, равна 1 %. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним % больных, равным 0.1 %. Какова вероятность, что человек, признанный больным, действительно является носителем ТБЦ Ответ: 0.0826.
8. Рассматриваются причины неудачного запуска космической ракеты. Высказаны четыре гипотезы: Н, Н, Н, Н. Р(Н )=0.2, 1 2 3 4 Р(Н )=0.4, Р(Н )=0.3, Р(Н )=0.1. В ходе расследования обнаружено, что 2 3 произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности Р(А/Н )=0.9, Р(А/Н )=0, Р(А/Н )=0.2, Р(А/Н )=0.3. Какая из гипотез 1 2 3 наиболее вероятна в данных условиях Ответ: Н.
9. Два охотника, Семён и Иван, отправились на охоту, увидели медведя и одновременно по нему выстрелили. Медведь был убит, и в его шкуре обнаружено одна пробоина. Кому из охотников принадлежит эта шкура, если Семён попадает в цель с того расстояния, с которого был сделан выстрел, с вероятностью 0.8, а Иван – с вероятностью 0.4.
Шкуру медведя продали за 5000 р. Как надо разделить эту сумму между Семёном и Иваном Ответ: 4300, 700.
10. Машина А производит 10 % определенного продукта. Машина В – 40 %, машина С – 50 %. 5 % продукта, производимого машиной А, – с дефектом; 12 % продукта, производимого В, – с дефектом; 8 % продукта, производимого С, – с дефектом. Инспектор выбрал продукт случайным образом и обнаружил, что он с дефектом. Определить вероятность того, что продукт произведен машиной А, или В, или С.
Ответ: 0.054, 0.52, 0.42.
1.1.14. Испытания Бернулли. Формула Бернулли Пусть имеется n независимых испытаний, в каждом из которых появляется событие А с вероятностью p и – с вероятностью q, A q + p = 1.
Читайте также: